정육면체 전개도는 왜 11가지뿐일까 — 세어 보면 알게 되는 것

정육면체 전개도는 11가지예요. 초등학교 고학년이나 중학교에서 한 번쯤 듣는 숫자죠. 그런데 딸깍의 전개도 문제를 만들면서 프로그램으로 세어 보니 64가지가 나왔어요. 둘 다 맞는 숫자예요. 무엇을 같은 것으로 보느냐만 달라요.

먼저, 왜 하필 11일까

정사각형 여섯 개를 변끼리 붙여 만든 조각을 헥소미노라고 해요. 이 조각이 전부 정육면체가 되지는 않아요. 여섯 칸을 한 줄로 늘어놓으면 접었을 때 옆면 넷은 만들어지지만 위아래가 비어 버려요. 2×3 직사각형은 접으려는 순간 면끼리 겹치고요.

한 줄이면 위아래가 비어요

2×3은 면이 겹쳐요

십자는 접혀요

그래서 여섯 칸 조각을 전부 만들어 놓고 하나씩 접어 보는 수밖에 없어요. 딸깍은 그 일을 프로그램에 맡겼어요. 한 칸에서 시작해 옆에 한 칸씩 붙여 가며 여섯 칸까지 키우면 216가지 조각이 나와요. 그중 실제로 정육면체가 되는 것은 64가지였어요.

마지막 단계는 64를 11로 줄이는 일이에요. 십자 전개도를 90도 돌려도 여전히 십자예요. 거울에 비춰도 십자고요. 종이를 손에 들고 돌려 보면 같은 종이인데, 격자 위 좌표로만 보면 다른 모양이에요. 돌리거나 뒤집어서 겹치는 것들을 한 종류로 묶으면 정확히 11종이 돼요.

11종을 전부 늘어놓으면

아래가 그 열한 가지예요. 딸깍의 전개도 문제도 전부 여기서 나와요. 칸 네 개가 이어진 줄에 나머지 둘이 어디 붙느냐로 갈린다고 보면 눈에 잘 들어와요.

① 방향 8

② 방향 8

③ 방향 8

④ 방향 8

⑤ 방향 8

⑥ 방향 4

⑦ 방향 4

⑧ 방향 4

⑨ 방향 4

⑩ 방향 4

⑪ 방향 4

⑩과 ⑪이 낯설 거예요. 계단처럼 어긋난 모양도 접혀요. 전개도 하면 십자만 떠올리기 쉬운데, 십자는 열한 가지 중 하나(⑥)일 뿐이에요.

11종을 8과 4로 나누면

묶어 보면 재미있는 게 보여요. 어떤 전개도는 방향이 여덟 가지고, 어떤 것은 네 가지예요.

• 여덟 방향짜리 5종: 네 번 돌리고, 뒤집어서 또 네 번. 전부 다르게 보여요.
• 네 방향짜리 6종: 좌우 대칭이라 뒤집어도 원래와 같아요. 그래서 절반만 나와요.

8 × 5 + 4 × 6 = 64. 앞에서 프로그램이 센 숫자와 정확히 맞아요. 십자 전개도는 거울에 비춰도 그대로라서 네 방향짜리에 들어가요.

딸깍이 64가지를 다 쓰는 이유

문제를 낼 때는 11종 대신 64가지를 전부 써요. 같은 십자 모양이라도 방향만 바뀌어 나오면 머릿속에서 다시 접어 봐야 하니까요. 수학적으로는 같은 전개도라도 푸는 경험은 달라요. 게다가 11종만 돌려 쓰면 며칠 만에 "아, 또 그거"가 돼요.

전개도를 손으로 적지 않고 프로그램에 맡긴 데는 이유가 하나 더 있어요. 처음에 손으로 24개를 적었는데 그중 6개가 접히지 않는 가짜였어요. 머릿속에서 접는 건 원래 틀리기 쉬워요. 이 유형이 퍼즐이 되는 것도 그 덕분이에요.

시험에 나오는 함정

전개도 문제에서 가장 많이 나오는 함정은 마주 보는 면이에요. 접었을 때 서로 등지는 두 면은 절대 한 화면에 같이 보이지 않아요. 보기에 그 두 면이 나란히 그려져 있으면 접어 보지 않고도 지울 수 있어요.

규칙은 두 개면 충분해요. 한 줄로 세 칸이 이어져 있으면 양 끝 두 칸이 마주 봐요. 대각선으로 ㄱ자를 이루는 두 칸은 모서리에서 맞닿는 이웃이고, 마주 보는 사이가 아니에요. 이 둘로 여섯 면을 세 쌍으로 다 묶을 수 있어요.

마주 보는 면을 다 걸러내고 나면 보통 보기 두 개가 남아요. 그 둘은 세 면이 똑같은데 좌우 배치만 다른 거울상이에요. 여기서부터가 진짜 승부인데, 요령이 있어요. 어떤 면을 위에 두면 그 둘레를 도는 옆면 넷의 순서가 주사위에 새겨져 있어요. 아무리 돌려도 그 순서는 거꾸로 되지 않아요. 오른손을 아무리 돌려도 왼손이 되지 않는 것과 같아요.

세어 보는 것의 힘

11이라는 숫자를 외우는 것과, 216개를 접어 보고 64개를 골라내고 그걸 다시 11로 묶어 보는 것은 다른 일이에요. 앞의 것은 지식이고 뒤의 것은 확인이에요. 딸깍이 문제를 만들 때 늘 프로그램으로 한 번 더 세어 보는 것도 그래서예요. 손으로 적은 24개 중 6개가 가짜였던 적이 있으니까요.

규칙 두 개를 알면 보기 절반은 그냥 지워지고, 남은 둘은 머릿속에서 돌려 보는 힘으로 갈려요. 딸깍에서는 틀리면 실제로 접히는 과정을 3D로 보여줘요. 몇 번 보고 나면 종이가 어떻게 서는지가 손에 잡혀요.