정육면체 전개도는 왜 11가지뿐일까 — 세어 보면 알게 되는 것
정육면체 전개도는 11가지다. 초등학교 고학년이나 중학교에서 한 번쯤 듣는 숫자다. 그런데 딸깍의 전개도 문제를 만들면서 프로그램으로 세어 보니 64가지가 나왔다. 둘 다 맞는 숫자다. 무엇을 같은 것으로 볼 것인가만 다르다.
먼저, 왜 하필 11인가
정사각형 여섯 개를 변끼리 붙여 만든 조각을 헥소미노라고 한다. 이 조각이 전부 정육면체가 되지는 않는다. 여섯 칸을 한 줄로 늘어놓으면 접었을 때 옆면 넷은 만들어지지만 위아래가 비어 버린다. 반대로 2×3 직사각형은 접으려는 순간 면끼리 겹친다.
그래서 여섯 칸 조각을 전부 만들어 놓고 하나씩 접어 보는 수밖에 없다. 딸깍은 그걸 사람이 아니라 프로그램에 시켰다. 한 칸에서 시작해 옆에 한 칸씩 붙여 가며 여섯 칸까지 키우면 216가지 조각이 나온다. 그중 실제로 정육면체가 되는 것은 64가지였다.
여기서 64를 11로 줄이는 것이 마지막 단계다. 십자 전개도를 90도 돌리면 여전히 십자다. 거울에 비춰도 십자다. 종이를 손에 들고 돌려 보면 같은 종이인데, 격자 위 좌표로만 보면 다른 모양이다. 돌리거나 뒤집어서 겹치는 것들을 한 종류로 묶으면 정확히 11종이 된다.
11종을 전부 늘어놓으면
아래가 그 열한 가지다. 딸깍의 전개도 문제도 전부 여기서 나온다. 칸이 네 개 이어진 줄에 나머지 둘이 어디 붙느냐로 갈린다고 보면 눈에 잘 들어온다.
⑩과 ⑪이 낯설 것이다. 계단처럼 어긋난 모양도 접힌다. 전개도 하면 십자만 떠올리기 쉬운데, 십자는 열한 가지 중 하나(⑥)일 뿐이다.
11종을 8과 4로 나누면
묶어 보면 재미있는 일이 생긴다. 어떤 전개도는 방향이 여덟 가지고, 어떤 것은 네 가지다.
- 여덟 방향짜리 5종 — 네 번 돌리고, 뒤집어서 또 네 번. 전부 다르게 보인다.
- 네 방향짜리 6종 — 좌우 대칭이라 뒤집어도 원래와 같다. 그래서 절반만 나온다.
8 × 5 + 4 × 6 = 64. 앞에서 프로그램이 센 숫자와 정확히 맞는다. 십자 전개도가 네 방향짜리에 속한다 — 거울에 비춰도 그대로이기 때문이다.
딸깍이 64가지를 다 쓰는 이유
문제를 낼 때는 11종이 아니라 64가지를 전부 쓴다. 같은 십자 모양이 방향만 바뀌어 나와도 사람 머릿속에서는 다시 접어 봐야 하기 때문이다. 수학적으로는 같은 전개도지만 푸는 경험은 다르다. 게다가 11종만 돌려 쓰면 며칠 만에 "아, 또 그거"가 된다.
전개도를 손으로 적지 않고 프로그램에 맡긴 데는 이유가 하나 더 있다. 처음에 손으로 24개를 적었는데 그중 6개가 접히지 않는 가짜였다. 머릿속에서 접는 것은 원래 틀리기 쉽고, 그래서 이 유형이 퍼즐로 성립한다.
시험에 나오는 함정
전개도 문제에서 가장 많이 나오는 함정은 마주 보는 면이다. 접었을 때 서로 등지는 두 면은 절대 한 화면에 같이 보이지 않는다. 보기에 그 두 면이 나란히 그려져 있으면 접어 보지 않고도 지울 수 있다.
규칙은 두 개면 충분하다. 한 줄로 세 칸이 이어져 있으면 양 끝 두 칸이 마주 본다. 대각선으로 ㄱ자를 이루면 그 둘은 모서리에서 맞닿는 이웃이지 마주 보는 사이가 아니다. 이 둘로 여섯 면을 세 쌍으로 다 묶을 수 있다.
마주 보는 면을 다 걸러내고 나면 보통 보기 두 개가 남는다. 그 둘은 세 면이 똑같은데 좌우 배치만 다른 거울상이다. 여기서부터가 진짜 승부인데, 요령이 있다. 어떤 면을 위에 두면 그 둘레를 도는 옆면 넷의 순서가 주사위에 새겨져 있다. 아무리 돌려도 그 순서는 거꾸로 되지 않는다. 오른손을 아무리 돌려도 왼손이 되지 않는 것과 같다.
세어 보는 것의 힘
11이라는 숫자를 외우는 것과, 216개를 접어 보고 64개를 골라내고 그걸 다시 11로 묶어 보는 것은 다른 일이다. 앞의 것은 지식이고 뒤의 것은 확인이다. 딸깍이 문제를 만들 때 늘 프로그램으로 한 번 더 세어 보는 이유이기도 하다 — 손으로 적은 24개 중 6개가 가짜였던 경험이 있으니까.
전개도 문제는 그래서 정직하다. 규칙 두 개를 알면 보기 절반이 그냥 지워지고, 남은 둘에서 갈리는 것은 순전히 머릿속에서 돌려 보는 힘이다. 딸깍에서는 틀리면 실제로 접히는 과정을 3D로 보여준다. 몇 번 보고 나면 종이가 어떻게 서는지가 손에 잡힌다.