13일의 금요일은 왜 자꾸 생길까 — 달력 퍼즐 하나로 설명하기
달력 문제 하나로 시작해 볼게요. 딸깍에 실제로 있는 문제예요.
어느 달의 1일이 일요일이다. 그 달의 13일은 무슨 요일일까?
달력을 그리지 않아도 돼요. 1일에서 13일까지는 12일이 지나고, 요일은 7일마다 제자리로 돌아와요. 12를 7로 나누면 5가 남으니, 일요일에서 다섯 칸을 세면 월, 화, 수, 목, 금요일이에요.
눈치채셨나요? 방금 13일의 금요일이 만들어지는 조건을 찾았어요. 1일이 일요일인 달의 13일은 반드시 금요일이에요.
그럼 13일의 금요일은 얼마나 흔할까요
1년은 열두 달이고, 각 달의 1일은 일곱 요일 중 하나로 시작해요. 열두 달의 시작 요일이 일곱 요일에 흩어지는데, 열두 개를 일곱 자리에 놓으면 비둘기집 원리로 반드시 겹치는 요일이 생기고, 반대로 일곱 요일을 다 피해 가는 것도 불가능해요. 실제로 계산해 보면 어떤 해든 1일이 일요일인 달이 최소 한 번, 최대 세 번 나와요.
그러니 13일의 금요일은 매년 1~3번 반드시 와요. 불길한 기운과는 상관없이 산수가 그렇게 만들어요.
왜 하필 13일에 이름이 붙었을까요
수학적으로는 13일의 금요일이나 7일의 수요일이나 확률이 같아요. 다만 서양에서 13이 오래 불길한 수였고(최후의 만찬의 13번째 손님), 금요일도 불길한 요일로 여겨져서 둘이 합쳐진 것으로 봐요. 재미있게도 그레고리력의 400년 주기를 전부 세어 보면 13일은 다른 어떤 요일보다 금요일에 조금 더 자주 떨어져요. 688번 대 684번 수준의 근소한 차이지만, 미신이 우연히 통계와 같은 편에 선 드문 사례예요.
같은 원리로 풀리는 것들
이 "7로 나눈 나머지" 감각은 13일의 금요일 말고도 쓸 데가 많아요. 몇 가지 예를 들어 볼게요.
- 100일 뒤는 무슨 요일일까요? 100 = 7×14 + 2. 오늘이 수요일이면 두 칸 뒤인 금요일이에요. 백일잔치 날짜가 궁금할 때 달력 없이도 알 수 있어요.
- 다음 달 같은 날짜는요? 31일짜리 달을 건너면 요일이 3칸(31 = 7×4 + 3), 30일짜리 달이면 2칸 밀려요. 이번 달 13일이 금요일이고 이번 달이 31일까지 있다면, 다음 달 13일은 월요일이에요.
- 내년 같은 날짜는요? 평년은 365 = 7×52 + 1이라 요일이 정확히 한 칸 밀려요. 올해 생일이 화요일이면 내년엔 수요일이에요. 윤년의 2월 29일을 건너는 경우에만 두 칸 밀리고요.
같은 원리가 시계에도 있어요. 12를 넘으면 12를 빼는 시계 덧셈(10시 + 5시간 = 3시)은 "7로 나눈 나머지"의 12 버전일 뿐이에요. 수학에서는 이를 나머지 연산이라 부르는데, 이름은 몰라도 괜찮아요. 기억할 건 하나예요. 돌아오는 것들은 전부 나머지로 계산해요.
덤: 달력에 숨은 우연 하나
마지막으로 재미있는 사실 하나를 소개할게요. 같은 해 안에서 4월 4일, 6월 6일, 8월 8일, 10월 10일, 12월 12일은 언제나 전부 같은 요일이에요. 4/4에서 6/6까지가 정확히 63일(7의 배수), 6/6에서 8/8까지도 63일, 이런 식으로 전부 7의 배수 간격이라서 그래요. 수학자 존 콘웨이는 이 짝수 날짜들을 기준점 삼아 어떤 날짜든 요일을 암산하는 방법을 만들기도 했어요. 짝수/짝수라서 외우기도 쉬워요.
딸깍의 달력·시간 분야에는 이런 문제가 52개 준비되어 있어요. 셈을 오래 하기보다 구조를 알아채면 풀리는 문제들이에요. 13일 문제를 풀 때 저희는 실제 달력을 코드로 돌려 1일이 일요일인 달의 13일이 정말 금요일인지 전수 확인하고 내보내요. 요일 문제만큼은 감에 기대지 않고 검산으로 만들어요.